Апстракцијата не секогаш има добар печат во нашиот свет, кој повеќе го вреднува „прагматизмот“, практичното набљудување и „конкретните“ работи. Сепак, многу прашања кои првично може да изгледаат „бескорисни“ завршија да играат важна улога, понекогаш на неочекувани полиња. Пример е историјата на размислувањата за квадратниот корен од 2. Прво да ја забележиме дневната близина што ја имаме со оваа бројка. Во вашата канцеларија до вашиот компјутер, седи печатач и, веднаш до него, голем пакет бели листови чекаат на ред да влезат во цилиндерот. Пакувањето кое ги држи овие листови заедно го означува нивниот формат : 21 см широк и 29,7 см долг. Овие мерења се прилично љубопитни. Зарем не би било полесно да се изберат 20 и 30 см, на пример?
Објаснувањето лежи во односот помеѓу должината и ширината. Со делење на 29,7 со 21, добиваме околу 1,4142, што не е било кој број : тој е квадратниот корен од 2, означен со √2. Со други зборови, множењето на вредноста 1,4142 само по себе дава (приближно) 2. Така присутен во нашата модерност, квадратниот корен од 2 е исто така еден од најстарите броеви што биле препознаени како важни. Се споменува во една вавилонска плоча која датира од пред речиси четири илјади години. Во оваа плоча, која го носи прилично непоетското име YBC7289, квадратниот корен од 2 се појавува како основна константа на геометријата : тој е резултат на делење на должината на дијагоналата на квадрат со неговата страна.
Од почетокот на цивилизацијата и пишувањето, √2 на тој начин обезбедил мост помеѓу геометријата (квадрат, неговата страна и неговата дијагонала) и алгебрата (бројот што, помножен со себе, дава 2). Не знаеме кое било размислувањето на Вавилонците, бидејќи најстарата демонстрација што ја имаме датира „само“ од Платон, добар милениум подоцна. Во секој случај, ова е можеби еден од првите математички резултати чиешто воспоставување бара вистинско надминување на интуицијата. Додека минималната навика за ракување со геометриски објекти ни овозможува да сфатиме дека, на пример, двете дијагонали на правоаголникот се со иста должина, врската помеѓу √2 и дијагоналата на квадрат не е толку очигледна. За да се направи оваа врска, првите мислители на геометријата нужно мораа да поминат низ она што го сочинува самото срце на математиката : не пресметката (макар и праведна), не фигурата (макар и уредна), туку расудувањето.
Иако значителен, овој прв оружен подвиг беше сепак само увертира за огромната интелектуална револуција што се случи на бреговите на Средоземното Море, во една од грчките колонии на југоисточниот дел на сегашна Италија. Ние сме околу 500 година пред нашата ера, дури и ако неизвесноста за точниот датум се брои со децении. Таму, член на школата на Питагора[1] утврдува факт кој засекогаш ќе го трансформира математичкото размислување, а надвор од тоа и размислувањето воопшто. Во денешниот јазик (кои познавачите ќе ни простат што сме анахрони), тоа е фактот дека квадратниот корен од 2 е ирационален број, односно не може да се добие со делење на цел број со друг (обратно, 3,5 е, на пример, рационален број бидејќи се добива на делење 7 со 2). Секако, може, како што веќе направија Вавилонците, да се дадат приближни вредности од √2 со внимателно избирање на цели броеви. Така, со делење на 17 со 12 се добива приближно 1,4166, што е блиску, но не е точно еднакво на √2. Дури и ако се заменат 17 и 12 со други, подобро избрани цели броеви, никогаш нема ригорозно да се добие √2. Ова важи и за бројот пи, исто така ирационален, кој може да се приближи со делење на 22 со 7.
Интелектуална револуција, зборот не е премногу силен за да се квалификува овој основачки резултат. Иако е чисто технички гледано оддалеку, тоа има значителни последици, како што е потврдено од Аристотел, кој во своите филозофски списи многупати се осврнува на „неспоредливоста на дијагоналата и страната“. Со други зборови, не може да се најде мерна единица во која должината на дијагоналата и на страната се дадени со цел број. Резултатот, иако веќе цврсто воспоставен во негово време, е вистински „,масивен концепт“ во школите на мислата во Атина и на други места.
Од строго математичка гледна точка, пред сè, фактот што не е можно да се добие √2 со делење два цели броја, означува пораз на аритметиката (тука сфатена како наука која ги проучува својствата на цели броеви) наспроти геометријата. Безопасната дијагонала на едноставен квадрат кој засекогаш ги избегнува „четирите операции“ на цели броеви (собирање, делење, множење и одземање), бројот веќе не може да тврди дека ја сочинува основата на математиката. Тогаш може да започне златното доба на Евклидовата геометрија, која ќе трае две илјади години и ќе премине неколку цивилизации.
Потоа, овој пораз на аритметиката парадоксално ѝ овозможува на математиката да ги стекне своите титули на благородништво, со дефинитивно воспоставување на нејзината автономија во однос на апликациите. Претходно, се чинеше дека математичките техники се користеа главно за справување со конкретни прашања. Броевите како алатка на сметководителите, а геометријата на геодетите, математиката имаше повеќе корисници наместо мислители. Колку и да беа брилијантни (вавилонскиот алгоритам за приближување на √2 не е значително подобрен во нашите компјутери), овие корисници имаа малку – барем колку што знаеме – постојан интерес за перспектива отфрлена од ова или она практично разгледување. Откривањето на ирационалноста на √2, теоретски резултат многу повеќе од применет, на тој начин означува ерупцијата на нова форма на размислување, која ја спојува апстракцијата со техниката за да произведе нови резултати кои не се засноваат ниту на митови, ниту на практични работи, но на чисто интелектуално расудување, истовремено апстрактно, неочекувано и способно засекогаш да се спротивстави на секој приговор.
Откако беше стекната ирационалноста на √2, не помина долго пред да се справиме со онаа на нејзините сестри, квадратните корени на другите цели броеви. Познатиот дијалог на Платон ни дозволува да мислиме дека токму во времето на Сократ, еден човек по име Театет утврдил дека квадратниот корен на цел број е секогаш или самиот цел број (како што е √9, што е еднакво на 3) или ирационален број (√2, значи, но и √3, √5, итн.). И ова е само почеток. Прашањето за ирационалноста на овој или оној број конструиран на алгебарски, аналитички или дури на начин на веројатност, никогаш нема да престане да го поставуваат математичарите. И денес има бројки за кои не знаеме дали се рационални или не.
Во 19 век, историчарот на науката Пол Танери предложи романтична визија за откривање на ирационални броеви, претставувајќи го како „логичен скандал“. Неговиот аргумент се засноваше на фактот дека питагорејските автори го имаа мотото дека „сè е број“. Да се оди многу брзо, тоа значело дека универзумот е прашање на односи меѓу броевите (под кои тој мислел на цели броеви), со други зборови, дека светот може да се опише со аритметика. Тоа не беше празен слоган. На Питагорејците им ја должиме интерпретацијата на музичките интервали (октава, петта, четврта…) токму како сооднос меѓу броевите (2/1 за октавата, 3/2 за петтата, 4/3 за четвртата…) , со што на математички основи се воспоставува музичката скала што сè уште ја користиме на Запад.
Мислејќи дека можат да ги прошират своите математички методи на целиот универзум, Питагорејците го предложија, на пример, постоењето на „музиката на сферите“, хармонични звуци нечујни за нашите несовршени уши, произведени во космосот со ротација на небесните сфери околу Земјата, нашата планета се смета за сферична и во центарот на универзумот. Со отфрлање на нивната доктрина, постоењето на ирационални броеви би предизвикало егзистенцијална болка кај Питагорејците, кои биле принудени да се откажат од својата визија за светот која, и покрај зачудувачката модерност на некои од нивните идеи, останала мистична, а не научна. Се вративме од оваа перспектива на Танери, чија драматургија беше малку претерана и за чија револуцијата на ирационалните броеви не треба да биде возбудлива.
Дури и денес, разликата помеѓу рационални и ирационални броеви останува фундаментална во математиката. Конкретно, кога параметрите што го дефинираат системот се рационални, често е знак дека феноменот е периодичен (се враќа одново и одново во почетната состојба во редовни интервали), додека ирационалните параметри произведуваат апериодичен феномен. За да дадеме пример кој е и елементарен, но тесно поврзан со најактуелните истражувања за динамички системи, да го разгледаме чипот што се движи со скокови на кружна сцена, при што секој скок секогаш го формира истиот агол со центарот на кругот. Дали чипот на крајот ќе се врати на својата почетна точка? Одговорот е да, само ако аголот на неговите скокови (мерен во степени) е рационален број.
Како што напредуваше математиката, таа беше збогатена со други дистинкции, од кои секоја ги изразуваше научните грижи за одреден период. Така, подемот на алгебрата во 18-19 век, кој ја видел појавата на разликата помеѓу алгебарските и трансценденталните броеви (последните не се решение за која било алгебарска равенка со рационални коефициенти), а потоа појавата на компјутерската наука во 20 век, каде што се појави разликата меѓу пресметливи и непресметливи броеви.
Но, сето ова не ни објаснува зошто најпознатиот ирационален број, √2, се наоѓа во нашиот лист А4. За да дознаеме, ајде да го преклопиме овој на половина, за да добиеме лист хартија со формат А5. Мало размислување покажува дека должината на А5 е 21 см (широчината на А4), додека ширината на А5 е половина од должината на А4, т.е. 29,7/2 = 14,85 см. Сега да ја поделиме должината на А5 со неговата ширина. Резултатот паѓа : 1.414…, т.е. √2 (приближно), исто како и за А4. А4 и А5, иако не се со иста големина, затоа се со иста форма : и двата се правоаголници чија должина е √2 пати поголема од ширината.
Со преклопување на А5 на половина, добиваме формат А6, исто така правоаголник со иста форма како двата претходни итн. Спротивно на тоа, А4 може да се види како резултат на преклопување на правоаголник двојно поголем, но сепак и секогаш со иста форма, А3. Продолжувајќи на овој начин, последователно ги добиваме A2, A1 и на крајот A0, кој по дефиниција е единствениот правоаголник од 1 м2 чиј однос на должина и ширина е еднаков на √2. Една мала вежба во алгебра ни овозможува да ги заклучиме нејзините димензии и, со последователно превиткување, конечно да ги најдеме 21 и 29,7 см од нашата А4.
Ова специфично својство на овој тип формат нуди многу практични предности. Овие беа забележани во Франција на крајот на 18 век, каде што бесот да се стандардизираат тежините и мерките го достигна прашањето за хартиените листови. Преку „законот за марки“ (имплицира : фискален) форматот заснован на √2 е официјализиран за прв пат, неговиот основачки принцип е дека цената што треба да се плати за да се утврди официјален акт може да биде фиксирана во правичен начин од материјалната површина окупирана од нејзината хартиена потпора. Дебатите во подготовката на овој закон покажуваат дека многу предности на овој вид формат се веќе добро идентификувани. Да споменеме само еден, кој има заслуга да илустрира дека нашето време не ја измислило борбата против отпадот : бидејќи секој формат се добива со едноставно сечење на форматот веднаш повисок (како А5 од А4), нема хартиена лента да се фрли за време на производството на различните формати од најголемите.
Тоа што квадратниот корен од 2 е секојдневен број не значи дека знаеме сè за него. Изненадувачки тешко прашање, поставено пред еден век од Емил Борел, е да се најде едноставно и експлицитно правило (техничката дефиниција на овие поими е самата деликатна) што ни овозможува да ја разбереме структурата на низата децимали од √2. Овој проблем сè уште им се спротивставува на математичарите. Колку што квантитативното гледиште за децималите од √2 беше многу добро решено од страна на Вавилонците, кои ни оставија во аманет многу брз метод да знаеме онолку децимали колку што некој сака, онолку колку што некој знае да одговори практично на ниту еден квалитативен прашање, од типот : дали сите низи од цифри се појавуваат во дадено време во бесконечната листа на децимали? Дали има точка по која бројот 7 никогаш повеќе не се појавува? Дали бројот 2 се појавува почесто или поретко од бројот 3? Колку и да е лесно да се разберат овие прашања, не е сигурно дека 21 век ќе може да даде одговори. Преподобниот квадратен корен од 2 сè уште, содржи многу тајни.
Преведено од: Павлина Димовска
Фусноти:
[1] Точниот идентитет на овој член денес не е познат.
